Analysis - 해석학(2)

Definition

---

정의 1. 환, 체, 분배법칙
Ring, Field, Distributive law

집합과 그 집합위의 연산 $+,\cdot$의 두가지 이항연산자로 구성되는 쌍
$(X, +, \cdot)$이 환이라함은 다음 과 같은 3가지 성질을 만족할 때이다.

1. 덧셈에 대한 가환성(commutative) $(X, +)$에 대해서 가환군(아벨군)이다.
2. 곱셈에 대한 결합법칙(associative law of multiplication) $\forall x, y, z \in X \Rightarrow (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
3. 분배법칙 $\forall x, y, z \in X \Rightarrow x \cdot(y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ $and$ $(x+y)\cdot z = x \cdot z + y \cdot z$

추가적으로 곱에 대한 교환법칙($\forall x, y \in X \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x$)을 만족할때 가환환(commutative ring)이라 불린다.
또한, 가환환의 조건에 더해 다음과 같은 3가지 성질이 성립할때 체(field)라고 불린다.

1. 곱셈에대해 닫혀있다　$\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$
2. 곱셈에 대한 항등원을 가진다 $\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$
3. 곱셈에 대한 역원을 가진다 $\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$

이에 더해 곱에 대한 교환 법칙이 성립할때 가환체라고 하며 일반적으로 체라고 하면 가환체를 말하는 경우가 많다.

---

정의 2. 거리

공집합이 아닌 집합 $X$의 원소 $a,b$에 대해 실수함수 $d(x,y)$가 정의되며 다음과 같은 4가지 조건을 만족할때 $d$는 $X$의 거리라고 말할 수 있다.

1. 거리는 음수가 아니다 $d(x, y) \geq 0$
2. 대칭성 $x, y \in X \Rightarrow d(x,y) = d(y,x)$
3. 삼각부등식 $x, y, z \in X \Rightarrow d(x,z) \leq d(x,y) + d(y, z)$
4. 식별불가능자 동일성 원리 $d(x,y) = 0 \iff x = y$

위의 성질들중 4번을 만족하지 않고 $d(x,y) = 0 \Rightarrow x = y$만을 만족할때
유사거리(pseudometric distance) 혹은 반거리(semimetric distance)라고 불린다.

---

정의 3. 거리공간 Metric Space

집합 $X$와 거리함수$d$로 이루어진 쌍 $(X, d)$를 거리공간이라고 정의한다.

---

정의 4. 유클리드 거리 Euclidean Distance

n차원 유클리드 공간 $(\mathbb{R}^n, d)$는 대표적인 거리공간중 하나이며
$\mathbb{R}^n$는 길이 n의 벡터 $x=(x_{1], x_{2}, \ldots , x_{n}}), x_{i} \in \mathbb{R}, i = 1, 2,\ldots , n$ 전체로 구성된 집합이다.
이때 두 점 x, y의 거리는 다음과 같이 정의된다.
$d(x, y) \colon = (\displaystyle\sum_{i=1}^n \mid x_{i} - y {i} \mid^2)^{1 \over 2}$

---

정의 5. 구 Open ball

경계를 포함하지 않은 구로 중심을 $x_{0}$라고 하면 다음과 같이 표현된다.
$B_{r}(x_{0}) = \left\{ x \in X \ \mid \ d(x_{0}, x) < r \right\}$

---

정의 6. 근방 Neighborhood

거리공간 $X$와 점 $p \in X$, 거리 $r > 0$ 에 대하여 근방은 다음과 같이 정의한다.
$N_{r}(p) = \left\{q \ \mid \ q \in X \land d(p, q) < r\right\}$
$N_{r}(p) \setminus \left\{p\right\}$ 를 $N_{r}^{\prime}(p)$ 라고도 표기한다.

---

정의 7. 집적점, 한계점(Limit Point)

거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자.
점 $p \in X$ 에 대해
$\forall r > 0, N_{r}^{\prime}(p) \in E \neq \emptyset$
가 만족된다면 $p$를 $E$의 집적점이라고 한다.

---

정의 8. 내부점, 외부점(Interior Point, Exterior Point)

거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자.
점 $p \in X$ 에 대해 이
$\exists r > 0$ $such$ $that$ $N_{r}^{\prime}(p) \in E \neq \emptyset$
가 만족된다면 $p$를 $E$의 내부점이라고 한다.
또한, $E^c = X \setminus E$ 의 내부점을 $E$의 외부점이라고 한다.
일반적인 집합의 여접합과는 달리 $E \cap E^c = \emptyset$ 이 성립한다.

---

정의 9. 열린 집합, 닫힌 집합
Open set, Closed set

거리공간 $(X, d)$에 대해서 $X$의 부분 집합, $E \subseteq X$를 생각하자.
다음이 성립할때
$\forall x \in E, \exists r > 0$ $such \ that$ $B_{r}(x) \subseteq E$
$U$를 $X$의 열린 집합(open set)이라 하며 닫힌 집합(closed set)는 $closed = open^c$ 여집합이 된다.
다시 표현하면 E의 모든 점이 E의 interior point일때 E는 열려있다고 하며 E를 열린 집합,
E의 모든 limit point가 E의 원소일때 E는 닫혀있다고 하며 E를 닫힌 집합이라 한다.

---

정의 10. 덮개 Cover

용어대로 특정 거리공간을 덮는다.
거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자.
집합족 $\mathcal{F} = \left\{\mathit{O}_{\alpha} \ \mid \ \alpha \in \mathit{I}\right\}$에 대해

1. $E \subset \bigcup_{\alpha \in \mathit{I}} \mathit{O}_{\alpha}$ 일때, $\mathcal{F}$는 $E$의 덮개라 한다.
2. $\mathcal{F}$의 모든 원소가 open set이라면 $\mathcal{F}$는 open cover이다.
3. $\mathcal{F}$의 부분집합족(family of subsets) $\mathcal{S} \subset P(\mathcal{F})$가 $E$의 cover일때, $\mathcal{S}$을 $\mathcal{F}$의 subcover(부분 덮개)라고 한다.
4. $\mid \mathcal{F} \mid \in \mathbb{N}$일때 $\mathcal{S}$를 finite subcover(유한 부분 덮개)라고 한다.

---

정의 11. 컴팩트 집합 Compact Set

compact한 집합이라는 어감대로 유한성과 관련이 있다.
거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자. 이때,

1. 한가지 표현으로
   $\forall \mathcal{C}=Open \ cover \ of E$, $\exists \mathcal{S}$ $which \ is \ finite$ $subcover \ of \ \mathcal{C}$
   를 만족한다면 $E$는 compact하다고 하며 Compact Set이라고 한다.
2. 다르게 표현하자면
   $\forall \mathcal{C}=Open \ cover \ of E$ 에 대해
   $\exists A = \left\{\alpha \ \mid \ \alpha \in \mathit{I} \right\}, s.t$
   $E \subset \bigcup_{\alpha \in A} \alpha$
   를 만족할때 $E$는 Compact Set이다.

---

정의 12. 순서집합 Ordered Set

순서집합 $A$는 다음과 같은 3가지 성질을 만족하는 집합이다.

1. Symmetric 반사율 $\forall a \in A, a \leq a$
2. Anti-symmetric 반대칭율 $(a\leq b) \land (b \leq c) \Rightarrow a \leq c$
3. Transitive 추이율 $(a\leq b) \land (b \leq a) \Rightarrow a = b$

---

정의 13. 상계, 하계, 상한, 하한
Upper bound, Lower bound, Supremum, Infimum

Ordered Set $(X, \leq)$의 부분 집합 $A \subset X$에 대하여
$\exists a, \forall x \in A$ $s.t \ x \leq a$ 가 만족될때
$a$를 상계(Upper bound)라부르며 $X$는 '위로 유계'(Bounded from above)라고 한다.
$sup\ A \ = min(A) \land u \in X$ 를 상한(Supremum)이라 한다.
하계(Lower bound)와 '아래로 유계'(Bounded from below), 하한(Infimum, $inf \ A$)은 반대로 정의 된다.

---

정의 14. 유리수의 조밀성, 실수의 조밀성

임의의 서로 다른 두 실수를 잡았을때, 그 사이에 반드시 실수가 존재한다는 것을 실수의 조밀성이라 한다. 특히, 두 실수 사이에 반드시 무리수가 존재한다는 성질을 무리수의 조밀성이라 한다.
$\forall p, q \in \mathbb{R} \land p < q,$ $\exists r \in \mathbb{R} \ s.t p < r < q$
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 으로부터 유리수의 조밀성이 성립함도 자명하다.

---

정리 15. 실수의 완비성

실수 $A = \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{n}, \ldots\right\}$를 생각하자.
$\forall \epsilon > 0, \exists n_{0}$ $s.t$ $\forall n, m \geq n_{0} \Rightarrow \mid a_{n} - a{m} \mid < \epsilon$ 일때, $A$는 코시 열(Cauchy sequence)이라 한다.
이러한 임의 Cauchy sequence가 수렴할때 그 공간은 complete(완비)하다고 한다.
$\mathbb{R}$는 Complete metric space이며 이를 실수의 완비성이라고 한다.

---

정리 16. 상극한, 하극한
Limit superior, Limit inferior

집합족 $\mathcal{F} = \left\{ A_{n} \ \mid \ n \in \mathbb{N} \right\}$의 상극한, 하극한은 다음과 같이 정의된다.
$\underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A{n}$ $\displaystyle = \bigcap{n=1}^{\infty} \bigcup{k = n}^{\infty}A{k}$
$\underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A{n}$ $= \displaystyle\bigcup{n=1}^{\infty} \bigcap{k = n}^{\infty}A{k}$
수열 ${a_{n}}$에 대한 상극한 하극한은 다음과 같이 정의된다.
$\underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} a{n}$ $\displaystyle = \inf{n=1}^{\infty} \sup{k = n}^{\infty}A{k}$
$\underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} a{n}$ $= \displaystyle\sup{n=1}^{\infty} \inf{k = n}^{\infty}A{k}$