Math/Analysis 해석학

Nested Interval Property - 폐구간 수렴 정리

# Definition of the Nested Interval Let $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ be a sequence of closed intervals of the type $I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right]$, where $\mid I_{n} \mid \colon = b_{n} - a_{n}$ denotes the length of such an interval. One can call $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ a sequence of nested intervals, if 1. $\quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}$ 2. $\quad \forall \va..

Monotone Convergence Theorem - 단조 수렴 정리

# Definition In the mathematical field of real analysis, the monotone convergence theorem is any of a number of related theorems proving the convergence of monotonic sequences (sequences that are non-decreasing or non-increasing) that are also bounded. Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a supremum, then the sequence will converge to the supremum;..

Bolzano–Weierstrass theorem - 볼차노-바이어슈트라스 정리

# Definition Bolzano–Weierstrass theorem — result about convergence in a finite-dimensional Euclidean space Rn. The theorem states that each bounded sequence in Rn has a convergent subsequence. (reference) 볼차노-바이어슈트라스 정리란 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다. (reference) 해석학과 위상수학에서 매우 중요하며 많이 쓰이는 정리이다. Definition의 정의부터 보도록하자. 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다 유클리드 공간에서 유계의 닫힌 집합이란 ..

Analysis - 해석학(1)

Definition 정의 1. 집합 집합이란 문맥상 추정이 가능한 것들의 집합이며 이는 소속성 질문에 대답할 수 있다는 것을 뜻한다. 정의 2. 집합의 외연적정의, 내포적 정의 Denotation, Connotation 외연적 정의： 처음의 원소부터 일정 개수의 원소를 열거, 가능하다면 일반항 $a_{n}$의 요소를 표현하고 나머지는 $\ldots$로 표현하는 경우가 많다. 특별히 영소문자의 경우 $\sum$ = $\left\{a,b,c,...,z\right\}$ 로 표기 하는 경우가 있다. 내포적 정의： 집합의 요소가 만족하는 성질을 표현한 것이다. 정의 3. 부분집합 집합 $X$의 모든 요소가 집합 $Y$의 요소일때 집합$X$는 집합 $Y$의 부분집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \subs..

Analysis - 해석학(2)

Definition 정의 1. 환, 체, 분배법칙 Ring, Field, Distributive law 집합과 그 집합위의 연산 $+,\cdot$의 두가지 이항연산자로 구성되는 쌍 $(X, +, \cdot)$이 환이라함은 다음 과 같은 3가지 성질을 만족할 때이다. 덧셈에 대한 가환성(commutative) $(X, +)$에 대해서 가환군(아벨군)이다. 곱셈에 대한 결합법칙(associative law of multiplication) $\forall x, y, z \in X \Rightarrow (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ 분배법칙 $\forall x, y, z \in X \Rightarrow x \cdot(y + z) = x \cdot y + x \cdot..