Nested Interval Property - 폐구간 수렴 정리

# Definition of the Nested Interval

Let $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ be a sequence of closed intervals of the type $I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right]$, where $\mid I_{n} \mid \colon = b_{n} - a_{n}$ denotes the length of such an interval. One can call $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ a sequence of nested intervals, if
1. $\quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}$
2. $\quad \forall \varepsilon$ $ >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\; \mid I_{N} \mid <\varepsilon $
(reference)

축소구간열의 정의

닫힌 구간 $I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right]$ 들로 구성된 열을 $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ 라고 두자.

이때 구간의 길이는 다음과 같이 정의된다. 

$\mid I_{n} \mid \colon = b_{n} - a_{n}$ 

이때, $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$가 축소구간열(nested interval)이기 위해서는 다음의 두가지 성질을 만족해야 한다.

 

1. $\quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}$
2. $\quad \forall \varepsilon$ $ >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\; \mid I_{N} \mid <\varepsilon $

$i < j$에 대해, $I_{j} \subseteq I_{i}$, 포함관계가 성립한다.

Monotone Convergence Theorem에 따라 $\forall i \in \mathbb{N},$ $\exists sup(I_{i}), inf(I_{i})$

Monotone Convergence Theorem - 단조 수렴 정리

 

축소하는 구간 열이 되기 위해서 이전의 구간이 현재 구간의 상한 하한을 포함해야 한다는 것은 자명한 사실이다.

 어떤 0보다 큰 임의의 자연수 $\forall \varepsilon$에 대하여 항상 이 보다 작은 길이의 구간이 존재한다.

구간의 길이가 0에 수렴한다는 성질을 엡실론-델타법으로 표현한 것이다.

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#Axiom of completeness

Axiom of completeness
If $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ is a sequence of nested intervals,
there always exists a real number, that is contained in every interval $I_{n}$.
In formal notation this axiom guarantees, that
$\exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
(reference)​

완비성의 공리이다.  

축소구간열 $(I_{n})_{n\in \mathbb {N}}$에 대해 구간열의 모든 구간에 포함되는 실수 x는 항상 존재한다.

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Each sequence $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
 of nested intervals contains exactly one real number  $x$
(reference)

 

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완비성의 공리 $\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ 에서 얻어지는 '실수 $x$는 존재한다'에서 더 나아가 '$x$는 유일하다'라는 사실이다.

증명해보자.

 

축소구간열의 모든 구간에 포함되는 서로 다른 두 실수가 존재한다고 가정해보자.

$\exists x, y \in \mathbb{R}, x \neq y$ 

축소 구간열의 정의로부터

$\forall \varepsilon$ $ >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\; \mid I_{n} \mid <\varepsilon $$

이때, $\forall n \in \mathbb{N}, x,y \in I_{n}$ 이므로

$\mid x - y \mid < $ $\liminf \mid I_{n} \mid < \mid I_{n} < \varepsilon$
$\varepsilon \to 0$ 일때 $x \to y$이므로 서로 다른 두 실수라는 조건에 모순된다.