Math

Analysis - 해석학(2)

Definition 정의 1. 환, 체, 분배법칙 Ring, Field, Distributive law 집합과 그 집합위의 연산 $+,\cdot$의 두가지 이항연산자로 구성되는 쌍 $(X, +, \cdot)$이 환이라함은 다음 과 같은 3가지 성질을 만족할 때이다. 덧셈에 대한 가환성(commutative) $(X, +)$에 대해서 가환군(아벨군)이다. 곱셈에 대한 결합법칙(associative law of multiplication) $\forall x, y, z \in X \Rightarrow (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ 분배법칙 $\forall x, y, z \in X \Rightarrow x \cdot(y + z) = x \cdot y + x \cdot..

Analysis - 解析学(1)

Definition 定義 1. 集合 集合とは、文脈で推定される「物の集まり」であって、その存在が示され、かつ、所属性質問に答えらるものを言う。 定義 2. 外延的定義、内包的定義 外延的定義： 最初から幾つかを示し、可能でなれば第 n 番目の要素などを示す、残りは...で表現することが多い。 内包的定義： 集合の要素が満足すべき性質を記すこと。 英小文字の集合は $\sum$ = $\left\{a,b,c,...,z\right\}$ と書かれる。 定義 3. 部分集合 集合 X のすべての要素がまた集合 Y の要素であるとき、「X は Y の部分集合である」といい、$X\subseteq Y$と書く。 定義 4. 合併集合 集合 X または集合 Y のどちらかの要素、あるいは、両方の要素からなる集合を「X と Y の合併集合」と呼び、$X \cup Y$と書く。 定義 5. 共..

Bézout's identity - 베주 항등식(Part. 1)

# Definition Bézout's identity — Let a and b be integers or polynomials with greatest common divisor a. Then there exist integers or polynomials x and y such that ax + by = d. Moreover, the integers or polynomials of the form az + bt are exactly the multiples of d. (reference) Extended Euclidean과 연결되는 정수론의 기본 정리 중 하나이다. 증명부터 해보자. $Lemma \ 1)$ $ For \ \forall a, b \in \mathbb{N} \left(a \neq 0 \l..

Euclidean Algorithm - 유클리드 호제법

# Definition $ a = bq + r(0 \le r = b,$ $GCD(a, b) = GCD(a-b, b) $ $g=GCD(a,b),$ $ \ a = gA,$ $ \ b =gB$ 라 두자. $ GCD(a-b, b) $ $= GCD(g(A-B), gB) $ 이기에 A-B와 B가 서로소임을 보이면 Lemma 1은 증명된다. 귀류법으로 $ GCD(A-B, B) = g_{A,B},$ $A-B = g_{A,B}M,\ B $ $= g_{A,B}N,\ g_{A,B} \neq 1$ 를 만족하는 $\exist..